Родился 4.11.1922 в городе Черемхово ныне Иркутской области в семье рабочего. Русский. Член КПСС с 1949. Окончил 7 классов.

В Советской Армии с 1940. В 1941 окончил Пермскую военно-авиационную школу пилотов.

На фронтах Великой Отечественной войны с марта 1943.

Командир эскадрильи 995-го штурмового авиаполка (306-я шад, 10-й шак, 17-я воздушная армия, 3-й Украинский фронт), капитан.

К февралю 1945 совершил 139 боевых вылетов, уничтожил 18 танков, более 50 автомашин, взорвал 4 склада боеприпасов, вывел из строя 7 самолетов противника.

Звание Героя Советского Союза присвоено 18.8.45.

После войны продолжает службу в армии. В 1953 окончил Военно-воздушную академию. Генерал-майор авиации Елдышев — заместитель начальника факультета этой академии. Живет в пгт Монино Московской области.

Награжден орденом Ленина, 2 орденами Красного Знамени, орденом Александра Невского, 2 орденами Отечественной войны 1 степени, 2 орденами Красной Звезды, орденом «За службу Родине в ВС СССР» 3 степени, медалями, иностранными орденами.