Родился в 1906 в деревне Прядино ныне Шекснинского района Вологодской области в семье крестьянина. Русский. Член КПСС с 1929. Окончил среднюю школу, рабфак в Вологде, 1 курс Московского энергетического института.

В Советской Армии в 1928 —30 и с 1931. Окончил Качинское авиационное училище, затем военно-политическое училище.

Участник советско-финляндской войны 1939 —40.

Военком эскадрильи 58-го авиационного полка (55-я скоростная бомбардировочная авиационная бригада, 7-я армия, Северо-Западный фронт) старший политрук Квашнин совершил 23 боевых вылета.

26.12.39 в районе населенного пункта Нильпя эскадрилья разгромила колонну противника.

19.02.40 сопровождал товарища на подбитом самолете до своего аэродрома.

Погиб 20.02.1940 в районе Выборга Ленинградской области.

Звание Героя Советского Союза присвоено 21.3.40 посмертно.

Награжден орденом Ленина, медалью.

Похоронен в Ленинграде, где именем Героя названа улица.