Родился 20.4.1922 в деревне Варваровка ныне Медынского района Калужской области в семье крестьянина. Русский. Член КПСС с 1943. С 1930 жил в Коломне Московской области. Образование неполное среднее.

В Советской Армии с 1940. Окончил Качинскую военно-авиационную школу.

Участник Великой Отечественной войны с июня 1941.

Летчик 910-го истребительного авиационного полка (101-я истребительная авиационная дивизия, Войска ПВО страны) лейтенант Елдышев к маю 1943 совершил 272 вылета, в 17 воздушных боях сбил лично 11 и в составе группы 7 самолетов противника.

Звание Героя Советского Союза присвоено 9.10.43.

Награжден орденами Ленина, Красного Знамени.

Погиб в декабре 1943.

Похоронен в селе Ивановка Белоцерковского района Киевской области.

Бюст Героя установлен в Коломне, мемориальная доска — на здании Коломенского аэроклуба.