Родился 2.8.1934 в городе Павловский Посад Московской области в семье служащего. Русский. Член КПСС с 1963.

В Советской Армии с 1952. Окончил Качинское военно-авиационное училище летчиков в 1955, Военно-воздушную инженерную академию — в 1968.

С 1960 в отряде космонавтов, с 1969 — в составе руководства Центра подготовки космонавтов. Совершил 3 космических полета.

14-19.6. 1963 — на корабле «Восток-5».

За осуществление этого полета и проявленные при этом мужество и героизм 22.6.63 присвоено звание Героя Советского Союза.

15-23.9.76 в качестве командира корабля «Союз-22» выполнил второй космический полет, в ходе которого отрабатывались научно-технические методы и средства изучения из космоса геолого-географических характеристик поверхности Земли в интересах народного хозяйства.

28.9.76 полковник Быковский награжден второй медалью «Золотая Звезда».

Третий полет совершил 26.8-3.9.78 на космическом корабле «Союз-31» (в качестве командира международного экипажа) и научно-исследовательском комплексе «Салют-6» — «Союз-29» — «Союз-31». В ходе полета были выполнены совместные эксперименты, разработанные учеными СССР и ГДР.

Герой Социалистического Труда НРБ, Герой Труда СРВ, Герой ГДР.

Награжден 3 орденами Ленина, орденами Трудового Красного Знамени, Красной Звезды, медалями и иностранными орденом.

Бронзовый бюст установлен на родине.

Его именем названы улица в городе Снежное Донецкой области, пионерская дружина школы № 3 Старобельского района Ворошиловградской области, теплоход МРФ. Почетный гражданин многих городов СССР и зарубежных стран.